CS61C | lecture1 | Birdy の小窝

计算机系统抽象

二进制可以表示任何东西

n 位数字(base B) 可以表示 <= $B^n$ 个事物

数字

计算机中，用二进制表示数字

$\begin{aligned} & d_{n-1}d_{n-2}...d_1d_0(n位数字由B为基) \\ =& ~~d_{n-1} \times B^{n-1} + d_{n-2} \times B^{n-2} + .. d_1 \times B^1 + d_0 \times B^0 \end{aligned}$

字符

26 个字符用 5 bits 可以表示
ASCII: 7 bits

布尔值

0 -> False
1 -> True

unsigned

$\begin{aligned} x &= 0b1010 \\ & = 2^3 + 2^1 = 10 \end{aligned}$

sign and magnitude

将第一位作为符号，剩下的作为无符号数。

$\begin{aligned} \textcolor{red}{0}00_{two} &= \textcolor{red}{+}0_{ten} \\ \textcolor{red}{0}01_{two} &= \textcolor{red}{+}1_{ten} \\ \textcolor{red}{0}10_{two} &= \textcolor{red}{+}2_{ten} \\ \textcolor{red}{0}11_{two} &= \textcolor{red}{+}3_{ten} \\ \\ \textcolor{blue}{1}00_{two} &= \textcolor{blue}{-}0_{ten} \\ \textcolor{blue}{1}01_{two} &= \textcolor{blue}{-}1_{ten} \\ \textcolor{blue}{1}10_{two} &= \textcolor{blue}{-}2_{ten} \\ \textcolor{blue}{1}11_{two} &= \textcolor{blue}{-}3_{ten} \\ \end{aligned}$

这样就会导致存在两个 0，$0…0_{two}~and~10…0_{two} = \pm 0_{ten}$
最大的正数 $01…1_{two}= (2^{(n-1)}-1)_{ten}$
最小的负数 $1…1_{two}=-(2^{(n-1)} - 1)_{ten}$

$\begin{aligned} x &= 0b1010 \\ & = -1 \times 2^1 = -2 \end{aligned}$

biased notation

类似于 unsigned，但是会有偏移从而让 0 粗略的在中间。值 = “unsigned value” - bias
传统偏移量 $(2^{(n-1)} - 1)$

$\begin{aligned} 000_{two} &= -3_{ten} \\ 001_{two} &= -2_{ten} \\ 010_{two} &= -1_{ten} \\ \textcolor{red}{011_{two}} &\textcolor{red}{= 0_{ten}} \\ 100_{two} &= +1_{ten} \\ 101_{two} &= +2_{ten} \\ 110_{two} &= +3_{ten} \\ 111_{two} &= +4_{ten} \\ \end{aligned}$

此时，0 为 $01…1_{two}=0_{ten}$
最大的正数 $1…1_{two} = (2^{(n-1)})_{ten}$
最小的负数 $0…0_{two}=-(2^{(n-1)} - 1)_{ten}$

$\begin{aligned} x &= 0b1010 \\ & = 2^3 + 2^1 - (2^3 - 1) = 3 \end{aligned}$

one’s complement

$\begin{aligned} 000_{two} &= +0_{ten} \\ 001_{two} &= +1_{ten} \\ 010_{two} &= +2_{ten} \\ 011_{two} &= +3_{ten} \\ \\ 100_{two} &= -3_{ten} \\ 101_{two} &= -2_{ten} \\ 110_{two} &= -1_{ten} \\ 111_{two} &= -0_{ten} \\ \end{aligned}$

然而此时 0 有两个 $0…0_{two}~and~1…1_{two} = \pm0_{ten}$
最大的正数 $01…1_{two} = (2^{(n-1)}-1)_{ten}$
最小的负数 $10…0_{two} = -(2^{(n-1)}-1)_{ten}$

$\begin{aligned} x &= 0b1010 \\ -x& = \sim x = 0b0101 = 5 \\ x &= -5 \end{aligned}$

two’s complement

$\begin{aligned} 000_{two} &= +0_{ten} \\ 001_{two} &= +1_{ten} \\ 010_{two} &= +2_{ten} \\ 011_{two} &= +3_{ten} \\ \\ 100_{two} &= -4_{ten} \\ 101_{two} &= -3_{ten} \\ 110_{two} &= -2_{ten} \\ 111_{two} &= -1_{ten} \\ \end{aligned}$

对于 0，只有 $0…0_{two} = 0_{ten}$
最大的正数 $01…1_{two} = (2^{(n-1)} - 1)_{ten}$
最小的负数 $10…0_{two}=(-2^{(n-1)})_{ten}$

正数翻转所有位并加 1 可以得到负数。

$\begin{aligned} x &= 0b1010 \\ -x& = \sim x + 1= 0b0101 + 1 = 0b0110 = 6 \\ x & = -6 \\ & = -2^3 + 2^1 = -8 + 2 = -6 \end{aligned}$

对于补码来说